tan55∘tan65∘tan75∘
=tan55∘tan65∘tan75∘⋅tan85∘tan85∘
=tan85∘⋅tan55∘tan65∘tan75∘tan85∘
=tan85∘⋅sin55∘sin65∘sin75∘(cos85∘)cos55∘cos65∘cos75∘sin85∘
=tan85∘⋅(sin55∘sin65∘)(sin75∘cos85∘)(cos55∘cos65∘)(cos75∘sin85∘)
=tan85∘⋅−12(cos120∘−cos10∘)12(sin160∘−sin10∘)12(cos120∘+cos10∘)12(sin160∘+sin10∘)
=−tan85∘⋅(cos120∘−cos10∘)(sin160∘−sin10∘)(cos120∘+cos10∘)(sin160∘+sin10∘)
=−tan85∘⋅−12sin160∘+12sin10∘−sin160∘cos10∘+sin10∘cos10∘−12sin160∘−12sin10∘+sin160∘cos10∘+sin10∘cos10∘
=−tan85∘⋅−12sin20∘+12sin10∘−sin160∘cos10∘+12sin20∘−12sin20∘−12sin10∘+sin160∘cos10∘+12sin20∘
=−tan85∘⋅12sin10∘−sin160∘cos10∘−12sin10∘+sin160∘cos10∘
=−tan85∘⋅(−1)
=tan85∘ (Q.E.D.)
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